Question

【题目】已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|= p，求AB所在的直线方程．

Answer 1

【答案】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（ ，0）， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
若AB⊥Ox，则|AB|=2p＜ p，不合题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y=k（x﹣ ），k≠0．
由 消去x，
整理得ky2﹣2py﹣kp2=0．
由韦达定理得，y1+y2= ，y1y2=﹣p2 ．
∴|AB|= = = =2p（1+ ）= p．
解得k=±2．
∴AB所在的直线方程为y=2（x﹣ ）或y=﹣2（x﹣ ）
【解析】设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），若AB⊥Ox，则|AB|=2p＜ p，不合题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣ ），k≠0．联立抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，可得满足条件的k值，进而得到答案．