Question

【题目】已知函数函数与直线相切，设函数其中a、c∈R，e是自然对数的底数.

（1）讨论h(x)的单调性；

（2）h(x)在区间内有两个极值点.

①求a的取值范围；

②设函数h(x)的极大值和极小值的差为M，求实数M的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）①②

【解析】

直接利用导数的几何意义即可求得c值，得，求导，分类讨论即可求解；
①函数在区间内有两个极值点，，则在区间内有两个不同的根即可；②的极大值和极小值的差为进行化简分析．

设直线与函数相切与点，
函数在点处的切线方程为：，，
把，代入上式得，．
所以，实数c的值为2．

所以，

则，

当时, ，

故函数在上单调递减，无增区间，

当时，，

，

所以函数在上单调递增，无减区间，

当时，令，

解得，

所以当或时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

由知，

设函数在区间内有两个极值点，，

令，

则，设

因为，故只需

所以，．
因为，
所以

．
由，得，且．
．
设，，令，
，
在上单调递减，从而，
所以，实数M的取值范围是.