Question

某港口水的深度 y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：

t（时）		3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．
（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过读取图表，可以看出函数y=f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出A和b，则函数
y=f（t）的近似表达式可求；
（Ⅱ）由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），由y≥11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的．
解答：解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12，则ω=．
再由，得振幅A=3，b=10，
∴（0≤t≤24）；
（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）
∴
∴，解得，，所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），
在同一天内，取k=0或1，
∴1≤t≤5或13≤t≤17，
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．
点评：本题考查了由部分图象确定函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，对于平衡位置不是坐标轴的，给出的最大值不是振幅A，对于（Ⅱ）的求解，应明确题目的问法，属中档题．