题目内容

定义在R上函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，且f(
x
5
)=
1
2
f(x)当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f(
1
2011
)=（　　）
分析：由f（x）+f（1-x）=1利用赋值可得得的f（1）=1，f（
1
2
）=
1
2
，由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得，
f（
1
5
）=
1
2
f（1），f（
1
25
）=
1
2
f（
1
5
），f（
1
125
）=
1
2
f（
1
25
），…可得f（
1
3125
）=
1
2
f（
1
625
）=
1
32
．
再由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得f（
1
10
）=
1
2
f（
1
2
）=
1
4
，f（
1
50
）=
1
2
f（
1
10
）=
1
8
，…可得f（
1
1250
）=
1
2
f（
1
250
）=
1
32

由0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），及f（
1
3125
）≤f（
1
2011
）≤f（
1
1250
），f（
1
3125
）=f（
1
1250
）=
1
32

可求f（
1
2011
）
解答：解：∵f（x）+f（1-x）=1
令x=1得的f（1）=1，x=
1
2
得f（
1
2
）=
1
2
，
∵f（
x
5
）=
1
2
f（x）得，
f（
1
5
）=
1
2
f（1）=
1
2
，f（
1
25
）=
1
2
f（
1
5
）=
1
4
，f（
1
125
）=
1
2
f（
1
25
）=
1
8
，f（
1
625
）=
1
2
f（
1
125
）=
1
16
，f（
1
3125
）=
1
2
f（
1
625
）=
1
32
．
由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得
f（
1
10
）=
1
2
f（
1
2
）=
1
4
，f（
1
50
）=
1
2
f（
1
10
）=
1
8
，f（
1
250
）=
1
2
f（
1
50
）=
1
16
，f（
1
1250
）=
1
2
f（
1
250
）=
1
32
，
∵0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），
由f（
1
3125
）≤f（
1
2011
）≤f（
1
1250
）及f（
1
3125
）=f（
1
1250
）=
1
32
得f（
1
2011
）=
1
32
．
故选C．
点评：本题主要考查了在抽象函数中利用赋值法求解函数值的应用，解决问题的关键是通过赋值得到f(
1
3125
)=f(
1
1250
)=
1
32
及两边夹求解出函数的值，要主要此方法的应用．
练习册系列答案
相关题目
下列6个命题中正确命题个数是（　　）
①第一象限角是锐角；
②若cos（α+β）=-1，则sin（α+2β）+sinβ=0
③函数y=sin(
π
4
-2x)的增区间是(kπ+
3π
8
，kπ+
7π
8
)，k∈Z
④角α终边经过点（a，a），（a≠0）时，sinα+cosα=
2

⑤若y=sin（ωx）的周期为4π，则ω=
1
2

⑥若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则y=f（x）是周期函数．
已知定义在R上函数f（x）部分自变量与函数值对应关系如表，若f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，不等式-1≤f（x）＜3的解集是（　　）
x 0 2 3 4
y -1 1 2 3
设定义在R上函数f（x）的图象与函数g（x）=a（x-2）+2（2-x）3（a为常数）的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；?
（Ⅱ）设F(x)=(
f(x)x
+4lnx)′，当m＞0时，判断F（m3）与F（m2）的大小关系，并说明理由．
已知定义在R上函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），当f（-3）=-2 时，f （2007）的值为（　　）

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