Question

已知函数f（x）=x²-2x+2，
（1）当x∈R时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）x∈[-5，5]．求f（x）的最大值与最小值；
（3）求实数a的取值范围，使f（x）=x²-2ax+2在区间[-5，5]上是单调函数．

Answer 1

解：（1）画出函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1 的图象，由图象可知，原函数没有最大值，当x=1时，函数值最小为1．

（2）当x∈[-5，5]时．由图象可知，原函数f（x）的最大值为f（-5）=37；最小值为当x=1时，函数值最小为1．
（3）当区间[-5，5]位于对称轴x=a的同侧时，f（x）=x²-2ax+2在区间[-5，5]上是单调函数，故有a≤-5或a≥5，
故实数a的取值范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）．
分析：（1）画出函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1 的图象，由图象可知，f（x）的最大值与最小值．
（2）当x∈[-5，5]时．由图象可知，f（x）的最大值与最小值．
（3）当区间[-5，5]位于对称轴x=a的同侧时，f（x）=x²-2ax+2在区间[-5，5]上是单调函数，由此可得实数a的取值范围．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．