Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=1，D₁是线段A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合）．过D₁和CC₁的平面与AB交于D．
（1）若四边形CDD₁C₁总是矩形，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱；
（2）在（1）的条件下，求二面角B-AD₁-C的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用四边形CDD₁C₁总是矩形，证明CC₁⊥平面ABC即可；
（2）求出平面BAD₁、平面ACD₁的一个法向量，再利用向量的夹角公式，我们可以求出二面角B-AD₁-C的取值范围．
解答：（1）证明：∵D₁是线段A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合）．过D₁和CC₁的平面与AB交于D，四边形CDD₁C₁总是矩形，
∴CC₁⊥平面ABC
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱…（5分）；
（2）解：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，-，0），C（，0，0），
设D（0，a，0），则D₁（0，a，1），a∈[-，]，
显然平面BAD₁的一个法向量为，
设平面ACD₁的一个法向量为
∵，
∴
∴
令x=1，∴y=-1，z=
∴平面ACD₁的一个法向量，于是，
设二面角B-AD₁-C的平面角为θ，∴cosθ=═
∵，²=2+（a+）²∈[2，5]，
∴cosθ∈[，]，
所以θ∈[arccos，]…（12分）
点评：三棱柱为直棱柱的条件是侧棱与底面垂直，（2）问研究二面角的平面角，利用向量的方法，减少了辅助线的添加，将立体几何问题代数化，属于中档题．