Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的右顶点为A，上顶点为B，P是在第一象限内椭圆上的一个动点，求△PAB的面积S的最大值．

Answer 1

分析：由椭圆的知识可知A，B的坐标，可得直线的方程，设P（4cosθ，2sinθ）（θ为锐角）为椭圆上在第一象限内的一动点，代入点到直线的距离公式，由三角函数的知识可得取最值得条件，再代入面积公式可得．

解答：解：由椭圆的知识可知A（4，0），B（0，2），
故直线AB的方程为

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0，
设P（4cosθ，2sinθ）（θ为锐角）为椭圆上在第一象限内的一动点，
可得P到直线AB的距离d=

|4cosθ+4sinθ-4|

5

=

|4 2 sin(θ+45°)-4|

5

，
∵θ为锐角，∴45°＜θ+45°＜135°，
∴

2

2

＜sin（θ+45°）≤1，
∴0＜4

2

sin（θ+45°）-4≤4

2

-4，
∴当θ=45°时，d取最大值为

4 2 -4

5

，
此时△PAB的面积S取最大值为：

1

2

×2

5

×

4 2 -4

5

=4

2

-4

点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及椭圆的简单性质，属中档题．