题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，且过点P（4， $数学公式$ ），A为上顶点，F为右焦点．点Q（0，t）是线段OA（除端点外）上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N．
（1）求椭圆方程；
（2）若圆N与x轴相切，求圆N的方程；
（3）设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

解：（1）∵e= $\text{[math]}$ ，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k＞0，故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
∵P（4， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，解得k=1，
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1；

（2）K_AP= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，则直线AP的方程为y=- $\text{[math]}$ x+4，
令y=t（0＜t＜4），则x= $\text{[math]}$ （4-t），∴M（ $\text{[math]}$ ，t），∵Q（0，t）∴N（ $\text{[math]}$ ，t），
∵圆N与x轴相切，∴ $\text{[math]}$ =t，由题意M为第一象限的点，则由 $\text{[math]}$ =t，解得t= $\text{[math]}$ ，
∴N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴圆N的方程为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（3）F（3，0），k_AP= $\text{[math]}$ ，∴直线PF的方程为y= $\text{[math]}$ （x-3），即12x-5y-36=0，
∴点N到直线PF的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴d= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （4-t），∵0＜t＜4，
∴当0＜t≤ $\text{[math]}$ 时，d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ＜t＜4时，d= $\text{[math]}$ （5t-6）+ $\text{[math]}$ （4-t）= $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，
∴综上，d的取值范围为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由e= $\text{[math]}$ ，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k＞0，从而可得椭圆方程，把点P坐标代入椭圆方程即可求得k值，进而得椭圆方程；
（2）由点斜式可得直线AP的方程为y=- $\text{[math]}$ x+4，通过解方程可得M，N坐标，圆N与x轴相切可得半径为t，从而可求得t值，进而可求得圆N方程；
（3）点R到直线PF的最大距离为d等于圆心N到直线PF的距离加上半径，根据d的表达式分类讨论即可求得其范围；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，熟练求解直线方程、熟记点到直线的距离公式等是解决相关问题的基础．