题目内容

设F1、F2分别是椭圆
x2
9
+y2=1的左、右焦点．
（I）若M是该椭圆上的一个动点，求
mF1
•
MF2
的最大值和最小值；
（II）设过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（I）由已知a=3，b=1，c=2
2
，则F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，设M(x，y)（2分）
MF1
•
MF2
=(-2
2
-x)(2
2
-x)+y2=
8
9
x2-7?x∈[-3，3]（5分）
所以当x=0时，
MF1
•
MF2
有最小值为-7；
当x=±3时，
MF1
•
MF2
有最大值为1．（7分）
（II）设点A（x1，y2），B（x2，y2）直线AB方程：y=kx+2
y=kx+2
x2+9y2=9
?(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-
36k
1+9k2
，?x1x2=
27
1+9k2
?y1y2=
-9k2+4
1+9k2
（9分）
因为∠AOB为钝角，
所以
OA
•
OB
＜0，即x1x2+y1y2＜0?
27
1+9k2
+
-9k2+4
1+9k2
＜0（12分）
解得k2＞
31
9
?k＞
31
3
或
31
3
，此时满足方程※有两个不等的实根（14分）
故直线l的斜率k的取值范围k＞
31
3
或k＜-
31
3
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x=
a2
c
上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，
3
2
）到F1，F2的距离之和为4．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM•KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的什么条件？证明你的结论．
（2009•南汇区二模）设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（2013•安徽）设椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
（2009•南汇区二模）设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是该椭圆上的一个动点，点A（5，0），求线段AP中点M的轨迹方程．

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