Question

动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x²=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦．
（1）当圆心D在原点时，过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点，求△ABC的最大面积；
（2）当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

分析：（1）设直线BC为y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，S=

1

2

|FA||x1-x2|=

4-( 1 1+k2 -2)2

≤

3

．由此知当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为

3

．
（2）设圆心(a，

a2

4

)，则圆为(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．当y=0时，x=a±2，|MN|=4，令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，由此能求出

m

n

+

n

m

的最大值．

解答：解：（1）设直线BC为y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，
S=

1

2

|FA||x1-x2|
=

|x1-x2|

2

=

(x1+x2)2-4x1x2

2

=

4k2+3 (1+k2)2

=

4-( 1 1+k2 -2)2

≤

3

．
当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为

3

．
（2）设圆心(a，

a2

4

)，则圆为(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．
当y=0时，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m

n

+

n

m

=2(sinθ +cosθ+
=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
当θ=

π

4

时取得最大值．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．