Question

设a为正实数，二次函数f（x）=ax²-4bx+4c有两个属于区间[2，3]的实数根．
（1）求证：存在以a、b、c为边长的三角形；
（2）求证：

a

a+c

+

b

b+a

＞

c

b+c

．

Answer 1

分析：（1）要证存在以a、b、c为边长的三角形，只要证a+b＞c即可
由题由题

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 2b a ≤3 △=16b2-16ac≥0

结合0＜a≤b≤c 且c≤

b2

a

可得a²+ab-b²=

5

4

a²-（b-

a

2

）²≥

5

4

a²-（

3

2

a-

a

2

）²=

1

4

a²＞0，从而可证
（2）由a≤b≤c＜a+b，可得

c

b+c

＜

a+b

b+c

=

a

b+c

+

b

b+c

≤

a

a+c

+

b

b+a

可证

解答：证明：（1）由题

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 2b a ≤3 △=16b2-16ac≥0

即

c≥2b-a 4c≥12b-9a a≤b≤ 3a 2 b2≥ac

∴0＜a≤b≤c 且c≤

b2

a

，（下面证a+b＞

b2

a

≥c）
又a²+ab-b²=

5

4

a²-（b-

a

2

）≥

5

4

a²-（

3

2

a-

a

2

）²=

1

4

a²＞0，
∴a+b≥

b2

a

＞c，∴a、b、c可构成三角形的三边．
（2）由a≤b≤c＜a+b，
∴

c

b+c

＜

a+b

b+c

=

a

b+c

+

b

b+c

≤

a

a+c

+

b

b+a

．

点评：本题主要考查了一元二次函数的根的分布，解题的关键是灵活利用二次函数的性质，属于知识的简单运用．