题目内容

设a为正实数，二次函数f（x）=ax²-4bx+4c有两个属于区间[2，3]的实数根．
（1）求证：存在以a、b、c为边长的三角形；
（2）求证： $数学公式$ ．

证明：（1）由题 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴0＜a≤b≤c 且c≤ $\text{[math]}$ ，（下面证a+b＞ $\text{[math]}$ ≥c）
又a²+ab-b²= $\text{[math]}$ a²-（b- $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ a²-（ $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ a²＞0，
∴a+b≥ $\text{[math]}$ ＞c，∴a、b、c可构成三角形的三边．
（2）由a≤b≤c＜a+b，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要证存在以a、b、c为边长的三角形，只要证a+b＞c即可
由题由题 $\text{[math]}$ 结合0＜a≤b≤c 且c≤ $\text{[math]}$ 可得a²+ab-b²= $\text{[math]}$ a²-（b- $\text{[math]}$ ）²≥ $\text{[math]}$ a²-（ $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ a²＞0，从而可证
（2）由a≤b≤c＜a+b，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 可证
点评：本题主要考查了一元二次函数的根的分布，解题的关键是灵活利用二次函数的性质，属于知识的简单运用．