题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求证AC⊥PB；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】分析：（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD证得．
（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）证明∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，
∵PB?面PDB∴AC⊥PB．
（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，
则由题意PA=PB=PC=
，S△ABC=
=
在等腰△PBC中，可求S△PBC=
=
∴V A-PBC=V P-ABC，
=
，h=
∴sinθ=
=
=
点评：本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．
（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）证明∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，
∵PB?面PDB∴AC⊥PB．
（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，
则由题意PA=PB=PC=
，S△ABC=
=
在等腰△PBC中，可求S△PBC=
=
∴V A-PBC=V P-ABC，
=
，h=
∴sinθ=
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点评：本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．
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