题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+ $\text{[math]}$ ）-1
=4cosx（ $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ cosx）-1
= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π；
（Ⅱ）∵x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，
-1≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤2．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．
分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数关系将f（x）=4cosxsin（x+ $\text{[math]}$ ）-1转化为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），即可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．
点评：本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．