Question

在△ABC中，已知tanB=

cos(C-B)

sinA+sin(C-B)

．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若∠C=60°，AB=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）通过切化弦，由

sinB

cosB

=

cos(C-B)

sinA+sin(C-B)

可求得cos（C+B）=-cosA=0，从而可判断△ABC的形状；
（2）依题意，可求得AC=

3

3

，利用三角形的面积公式即可求得答案．

解答：解：（1）由题意得，

cos(C-B)

sinA+sin(C-B)

=

cos(C-B)

sin(C+B)+sin(C-B)

=

cosCcosB+sinCsinB

2sinCcosB

=tanB=

sinB

cosB

，
所以cosCcosB+sinCsinB=2sinCsinB，
即有cosCcosB-sinCsinB=0，
即cos（C+B）=-cosA=0，
所以∠A=90°，即△ABC是直角三角形．
（2）因为∠C=60°，AB=1，
又由（1）得：AC=ABtan30°=

3

3

，
所以△ABC的面积为

1

2

×AC×AB=

3

6

．

点评：本题考查三角形的形状判断，考查三角函数中的恒等变换应用，考查分析与运算能力，属于中档题．