Question

已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为“一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；

(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”，求证：，；

（Ⅲ）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小题关键是先得到，

（Ⅲ）本小题要结合(Ⅱ)的结论来证明。

【解析】

试题分析：解：（I）由题在是增函数，

由一次函数性质知

当时，在上是增函数，

所以 

（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，

又，有，

所以，                 

所以，

所以   

所以                              

（Ⅲ）设，其中.

因为是“一阶比增函数”，所以当时，

取，满足，记

由（Ⅱ）知，同理，

所以一定存在，使得，

所以一定有解                             

考点：函数的单调性

点评：证明函数在区间上为增（减）函数的方法是：令，若

（），则函数为增（减）函数。