Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）是由正数组成的等差数列，并且a₃=5，a₄•（a₁+a₂）=28，bn=pan+1（p为非零实常数）
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项
（2）求b₁+b₂+…+b_n（n∈N*）

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，利用等差数列通项公式列出关于a₁，d 的方程组，求出a₁，d后，数列{a_n}（n∈N^*）的通项可求．
（2）由（1）得出bn=p2n+1（p≠0），数列{b_n}为等比数列，可以按照等比数列求和公式计算，要注意对公比取值情形分类讨论．

解答：解（1）设数列{a_n}的公差为d，由于a₃=5，a₄•（a₁+a₂）=28，所以

a1+2d=5 (a1+3d)•(2a1+d)=28

  

(a1＞0)

∴a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）得出bn=p2n+1，（p≠0），数列{b_n}为等比数列，且公比为p²，
当p=1时；b_n=1，b₁+b₂+…+b_n=n，
当p=-1时；b_n=-1，b₁+b₂+…+b_n=-n，
当p≠±1时；b1+b2+…+bn=p3+p5+…+p2n+1=

p3(1-p2n)

1-p2

．
综上所述，b1+b2+…+bn=

-n，p=-1 n，p=1 p3(1-p2n) 1-p2 ，p≠±1

点评：本题考查了等差数列通项公式求解，等比数列求和．在等比数列求和时，要注意公比是否为1，含有字母时一般进行分类讨论求解，否则易错．