Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）
（1）若x=

π

6

，求向量

a

与

c

的夹角；
（2）若f（x）=2

a

•

b

+1，求f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）当x=

π

6

时可得

a

=(

3

2

，

1

2

)，结合

c

=（-1，0）算出

a

•

c

=-

3

2

且|

a

|=|

c

|=1．利用向量的夹角公式，结合平面向量夹角的范围即可算出向量

a

与

c

的夹角大小；
（2）由向量数量积的坐标运算公式，化简得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，再由三角函数的周期公式和单调区间的结论，即可算出f（x）的最小正周期和单调递增区间．

解答：解：（1）x=

π

6

时：

a

=(

3

2

，

1

2

)，且

c

=（-1，0）
∴可得

a

•

c

=-

3

2

，且|

a

|=|

c

|=1．
cos＜

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

=-

3

2

∴向量

a

与

c

的夹角等于

5π

6

；
（2）f（x）=2

a

•

b

+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=

2

sin(2x-

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z
可得f（x）单调递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z

点评：本题以向量的坐标运算为载体，考查了三角函数的图象与性质、三角函数的周期公式等知识，同时考查了平面向量的数量积公式和夹角公式，属于中档题．