Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的焦点坐标为F₁（-2，0），点M（-2，

2

）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q（1，0），过Q点引直线l与椭圆E交于A，B两点，求线段AB中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）经过M（-2，

2

），一个焦点坐标为F₁（-2，0），求出基本量，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）利用点差法，求出弦AB的斜率，根据A，B，P，Q四点共线，可得k_AB=k_PQ，从而可求线段AB中点P的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）经过M（-2，

2

），一个焦点坐标为F₁（-2，0），
∴

a2=8 b2=4

，∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1； …（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l与椭圆E的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），相交所得弦的中点P（x，y），
∴

x12 8 + y12 4 =1① x22 8 + y22 4 =1②

，
①-②得，

(x1+x2)(x1-x2)

8

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴弦AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

8

x1+x2

y1+y2

=-

x

2y

，(y≠0)．，
∵A，B，P，Q四点共线，
∴k_AB=k_PQ，即-

x

2y

=

y

x-1

，(y≠0，x≠1)，
经检验（0，0），（1，0）符合条件，
∴线段AB中点P的轨迹方程是x²+2y²-x=0．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．