Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性
（Ⅱ）若不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0对x∈[-1，0]都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域是否关于原点对称，再根据奇函数和偶函数的定义判断，即可得到答案；
（Ⅱ）对底数a分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，分别研究函数f（x）的单调性，利用函数的单调性将“f”去掉，转化为关于x的恒成立问题，利用参变量分离法，求出分离后函数的最值，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，函数f（x）的定义域为R，
∵f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（Ⅱ）不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0可化为f(

k

ax

+2a)＜-f(-ax)，
∵f（x）是奇函数，
∴-f（-a^x）=f（a^x），
∴不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0等价于f(

k

ax

+2a)＜f(ax)，
由题意，f(x)=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
①当a＞1时，y=a^x是R上的增函数，则f（x）是R上的增函数，
∴f(

k

ax

+2a)＜f(ax)?ax＞

k

ax

+2a?k＜(ax)2-2a•ax=(ax-a)2-a2对x∈[-1，0]都成立，
令t=a^x，
∵a＞1，-1≤x≤0，
∴

1

a

≤t≤1，
令u=（a^x-a）²-a²，则u=（t-a）²-a²在[

1

a

，1]上是减函数，
∴u_min=1-2a，
∴k＜u_min=1-2a，
故实数k的取值范围是（-∞，1-2a）；
②当0＜a＜1时，y=a^x是R上的减函数，则f（x）是R上的减函数，
∴f(

k

ax

+2a)＜f(ax)?ax＜

k

ax

+2a?k＞(ax)2-2a•ax=(ax-a)2-a2对x∈[-1，0]都成立，
令t=a^x，
∵0＜a＜1，-1≤x≤0，
∴1≤t≤

1

a

，
令u=（a^x-a）²-a²，
则u=（t-a）²-a²在[1，

1

a

]上是增函数，
∴umax=

1

a2

-2，
∴k＞umax=

1

a2

-2
故实数k的取值范围是(

1

a2

-2，+∞)．
综合①②，实数k的取值范围是：当a＞1时，实数k的取值范围（-∞，1-2a）；当0＜a＜1时，实数k的取值范围(

1

a2

-2，+∞)．

点评：本题主要考查了函数的两大基本性质之一的函数的奇偶性．用定义判断函数的奇偶性主要两个基本步骤，第一步判断函数的定义域是否关于原点对称，第二步判断f（-x）与f（x）的关系，同时考查了函数恒成立问题，一般选用参变量分离的方法求解．属于中档题．