Question

设函数y=f（x）的定义域与值域均为R，其反函数为y=f^-1（x），且对任意实数x都有．现有数列a₁=1，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）（文）求满足对所有n∈N^*恒成立的m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为数列{an}满足a₁=1，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）^_且   所以，化简得，，又因为  b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），所以，可判断 数列{b_n}是公比为 的等比数列，进而可求出数列{b_n}的通项公式． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）中数列{b_n}的通项公式，以及b_n=a_n+1-a_n可得数列{a_n}的递推公式，再用迭代法求出数列{a_n}的通项公式，就可把化为含m，n的不等式，求出m在那个范围时，对所有n∈N^*恒成立．
解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n=f^-1（a_n+1）
∵任意实数x都有，∴
∵a_n+1=f（a_n），即a_n=f^-1（a_n+1），∴f（a_n+1）=a_n+2，f^-1（a_n+1）=a_n
∴，即
∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，
∴数列{b_n}是以为首项，以为公比的等比数列
故数列{b_n}的通项为
（Ⅱ）（文）由得a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
==
又∵a₁=1，∴（n∈N^*），即数列{a_n}是递增数列，且a_n＜3（n∈N^*）
∴满足对所有n∈N^*恒成立的参数m必须满足，即．又，故满足对所有n∈N^*恒成立的参数m的取值范围为．
点评：本题考查了函数与数列的关系，以及恒成立问题，做题时需细心，找到突破口．