题目内容
（2012•黔东南州一模）已知函数f(x)=
+
(x＞1)的图象经过(e2，
+
)（其中e为自然对数的底数，e≈2.71）．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有(e+
)(
+
)×…×(
+
)≥(e+
)n成立．
| x |
| lnx |
| alnx |
| x |
| e2 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有(e+
| 1 |
| e |
| e2 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
| en |
| n |
| n |
| en |
| 1 |
| e |
分析：（Ⅰ）利用函数y=f（x）的图象过点(e2，
+
)，建立方程，即可求得实数a；
（Ⅱ）求导数，求得f′（x）=0时，x=e，从而由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)=e+
，从而可得当x＞1时，f(x)≥e+
恒成立，当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有f(en)≥e+
，由此可证结论．
| e2 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
（Ⅱ）求导数，求得f′（x）=0时，x=e，从而由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)=e+
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
解答：（Ⅰ）解：由y=f（x）的图象过点(e2，
+
)得
+
=
+
，所以a=1． …（2分）
（Ⅱ）解：求导数可得：f′(x)=
+
=
…（4分）
由x＞1知
＞0，
令g（x）=x-lnx，则g′(x)=
＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）． …（7分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)=e+
…（8分）
即当x＞1时，f(x)≥e+
恒成立
当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有f(en)≥e+
，即
+
≥e+
＞0…（10分）
故(e+
)(
+
)×…×(
+
)≥(e+
)n成立． …（12分）
| e2 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
| e2 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
| e2 |
| lne2 |
| alne2 |
| e2 |
（Ⅱ）解：求导数可得：f′(x)=
| lnx-1 |
| (lnx)2 |
| 1-lnx |
| x2 |
| (lnx-1)(x+lnx)(x-lnx) |
| x2(lnx)2 |
由x＞1知
| x+lnx |
| x2(lnx)2 |
令g（x）=x-lnx，则g′(x)=
| x-1 |
| x |
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）． …（7分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)=e+
| 1 |
| e |
即当x＞1时，f(x)≥e+
| 1 |
| e |
当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有f(en)≥e+
| 1 |
| e |
| en |
| n |
| n |
| en |
| 1 |
| e |
故(e+
| 1 |
| e |
| e2 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
| en |
| n |
| n |
| en |
| 1 |
| e |
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，求得函数的单调性，确定最值是关键．
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