题目内容
【题目】函数
，
.
（Ⅰ）若
，设
，试证明
存在唯一零点
，并求
的最大值；
（Ⅱ）若关于
的不等式
的解集中有且只有两个整数，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知
，求得
，令
，
，进而判定出函数的单调性，求得函数的最大值.
（Ⅱ）由题意
等价于
，令
，求得
，
令
，则
，即
在
上单调递增，求得
，
，
的值，进而得到实数
的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知
，
于是
令，
，
∴
在
上单调递减.
又
，
，
所以存在
，使得
，
综上
存在唯一零点.
解：当
，
，于是
，在
单调递增；
当
，
，于是
，在
单调递减；
故
，
又
，
，
，
故
.
（Ⅱ）解：等价于.
，
令，则
，
令，则，即在上单调递增.
又
，
，
∴存在
，使得
.
∴当
，
在
单调递增；
当
，
在
单调递减.
∵
，
，
，
且当
时，
，
又
，
，
，
故要使不等式解集中有且只有两个整数，
的取值范围应为.
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【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标
）、推理（能力指标
）、建模（能力指标
）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标
的值评定学生的数学核心素养；若
，则数学核心素养为一级；若
，则数学核心素养为二级；若
，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
学生编号 |
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（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为
，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为
，记随机变量
，求随机变量
的分布列及其数学期望.
【题目】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒) | 16 | 4 | 12 | 8 |
每小时生产有缺损零件数y(个) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
