Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，若f′（x）＞0的x的取值范围为（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（x）的极大值；
（Ⅱ）设g（x）=6（2-m）x，当x∈[2，3]时，函数y=f′（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）得到1和3分别为函数的极小值和极大值点即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者联立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式，从而可得f（x）的极大值；
（Ⅱ）当x∈[2，3]时，函数y=f′（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，等价于-3x²+12x-9＜6（2-m）x，分离参数，再求最值，即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=3ax²+2bx+c，依题意有a＞0，且1，3分别为f（x）的极小值，极大值点，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x³+6x²-9x，
∴f（x）的极大值为f（3）=0；
（Ⅱ）∵当x∈[2，3]时，函数y=f′（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，
∴-3x²+12x-9＜6（2-m）x，
∴6（2-m）＞-3（x+

3

x

）+12，
设y=x+

3

x

，则y′=1-

3

x2

，∴y=x+

3

x

在[2，3]上是增函数，∴x+

3

x

≥

7

2

∴-3（x+

3

x

）+12≤

3

2

∴6（2-m）＞

3

2

∴m＜

7

4

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，正确分离参数求最值是关键．