题目内容
设M是由满足下列条件的函数
构成的集合：“①方程
有实数根；②函数的导数
满足
.”
（1）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意
，都存在
，使得等式
成立”，试用这一性质证明：方程
只有一个实数根；
（3）设
是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的
，当
，且
时，
.
1）函数
是集合M中的元素. （2）同解析（3）同解析
解析:
1）因为
，所以
满足条件
，
又因为当
时，
，所以方程
有实数根0.
所以函数是集合M中的元素.
（2）假设方程存在两个实数根
），则
，
不妨设
，根据题意存在数
，
使得等式
成立，
因为
，
，且
，所以
，
与已知
矛盾，所以方程
只有一个实数根；
（3）不妨设
，因为
所以
为增函数，所以
，
又因为
，所以函数
为减函数，
所以
，
所以
，即
，
所以
.
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