Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-x=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．给出如下函数：
①f(x)=

x

2

+

sinx

4

；
②f（x）=x+tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)；
③f（x）=log₃x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有

①③

．（只需填写函数的序号）

Answer 1

分析：逐个判定函数是否满足：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”即可．

解答：解：①因为f′（x）=

1

2

+

1

4

cosx，
所以f′（x）∈[

1

4

，

3

4

]满足条件0＜f'（x）＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0．
所以函数是集合M中的元素．
②当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0，满足条件（1），
但f′（x）=1+

1

cos2x

＞1，不满足条件（2），
故②不是M中的元素；
③当x=1时，f（1）=1，所以方程f（x）-x=0有实数根1，满足条件（1），
f′（x）=

1

xln3

，当x≥1时，0＜

1

xln3

≤

1

ln3

＜1，满足条件（2），
所以③是M中的元素；
故答案为：①③

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、集合元素间的关系，考查学生分析解决新问题的能力．