Question

【题目】已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上．

（1）若为的中点，且直线，由三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；

（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用中位线不难得到的位置，连接交于，则，证得线面平行；

（2）取中点，以为原点建立空间坐标系，设，利用线面所成角去列方程，解得值，然后确定二面角的两个面的法向量，利用公式求解即可．

（1）因为直线平面，

故点在平面内也在平面内，

所以点在平面与平面的交线上（如图所示）

因为，为的中点，所以，

所以，，所以点在的延长线上，且

连结交于，因为四边形为矩形，所以是的中点

连结，因为为的中位线，所以，

又因为平面，所以直线平面.

（2）由已知可得，，，所以平面，

所以平面平面，取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，

所以，，

设，则，

设平面的法向量，则，

取，则，，所以，

与平面所成的角为，所以，

所以，所以，解得或，

所以存在点，使得直线与平面所成的角为，

取的中点，则为平面的法向量，因为，

所以，，

设二面角的大小为，

所以，

因为当时，，平面平面，

所以当时，为钝角，所以.

当时，为锐角，所以.