题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA= $数学公式$ ，cosB= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a-b=4-2 $数学公式$ ，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cosA= $\text{[math]}$ ，cosB= $\text{[math]}$ ，∴角A，B为锐角，
∴sinA= $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$ ．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由正弦定理知： $\text{[math]}$ ，由（Ⅰ）得a= $\text{[math]}$ b，
∵a-b=4-2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ b-b=4-2 $\text{[math]}$ ，∴a=4，b=2 $\text{[math]}$ ．
故△ABC的面积 S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ +2．
分析：（Ⅰ）在△ABC中，cosA= $\text{[math]}$ ，cosB= $\text{[math]}$ ，可得sinA= $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$ ，由sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，运算求得结果．
（Ⅱ）由正弦定理求出a=4，b=2 $\text{[math]}$ ，根据△ABC的面积 S= $\text{[math]}$ absinC求得结果．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，两角和差的正弦公式，求出 sinC 和 b 的值，是解题的关键．