题目内容

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中点，过A₁，M，C三点的平面与CD所成角正弦值

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：先做B₁E⊥平面A₁MC与E，根据DC∥A₁B₁得到∠B₁A₁E为所求；然后通过体积相等求出B₁E的长，即可求出答案．
解答：

解：做B₁E⊥平面A₁MC与E
设B₁E=h
∵DC∥A₁B₁，则∠B₁A₁E为所求的线面角；
设此正方体所有棱边长为1．
如图，因为M是棱AB的中点，
所以：CM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理A₁M= $\text{[math]}$ ，
而CA₁= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ．
∴在等腰三角形A₁MC中底边A₁C边上的高为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ •h• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •BC• $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ •h• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ ×1×1?h= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴sin∠B₁A₁E= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即过A₁，M，C三点的平面与CD所成角正弦值为： $\text{[math]}$ ．
故选：D．
点评：本题主要考察直线与平面所成的角．解决本题的关键在于通过DC∥A₁B₁把问题转化为求∠B₁A₁E．