Question

已知函数f(x)=(x-a)²(x-b)(a，b∈R，a＜b)，
(1)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设x₁，x₂是f(x)的两个极值点，x₃是f(x)的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂，证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按照某种顺序排列后构成等差数列，并求x₄。

Answer 1

解：(1)当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)²(x-2)=x³-4x²+5x-2，
所以f′(x)=3x²-8x+5，
故f′(2)=1，
又f(2)=0，
所以曲线y=f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．
(2)因为f′(x)=3(x-a)(x-)，
由于a＜b，故a＜，
所以f(x)的两个极值点为x=a，x=，
不妨设x₁=a，，
因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的一个零点，所以x₃=b，
又因为，，
所以成等差数列，
所以存在实数x₄满足题意，且。