Question

直线l与椭圆

x2

3

+y2=1交于不同的两点P₁，P₂，线段P₁P₂的中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂（O点为坐标原点），则k₁•k₂的值为（　　）

• A．-

  1

  3

• B．-1
• C．-

  1

  9

• D．不能确定

Answer 1

分析：设出两点P₁，P₂的坐标，表示出线段P₁P₂的中点P的坐标，把P₁，P₂的坐标代入椭圆方程，利用作差整理即可得到答案．

解答：解：设P₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂）．
因为线段P₁P₂的中点为P，则P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
由P₁，P₂在椭圆上，所以

x12

3

+y12=1①

x22

3

+y22=1②
①-②得：

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

1

3

．
因为k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y1+y2

x1+x2

．
所以k₁•k₂=-

1

3

．
故选A．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了点差法，涉及与中点弦有关的问题，常用此法解决，是中档题．