题目内容
已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．
分析：（1）已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a，对其进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，从而求出其单调区间；
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值，再根据零点定理求出实数a的取值范围．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值，再根据零点定理求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x1=0，x2=2a
列表如下：
由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=-3a2+a，f（2a）=-4a3-3a2+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a2+a）（-4a3-3a2+a）≤0
∴a2（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得
≤a≤
故实数a的取值范围是[
，
]．
列表如下：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2a） | 2a | （2a，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 递增 | -3a2+a | 递减? | -4a3-3a2+a | 递增? |
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=-3a2+a，f（2a）=-4a3-3a2+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a2+a）（-4a3-3a2+a）≤0
∴a2（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得
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点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，以及零点定理的应用，此题是一道中档题，这也是高考常考的题型．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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