Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，且a_n+1＝(1＋q)a_n－qa_n－1(n≥2，q≠0)．

(Ⅰ)设b_n＝a_n+1－a_n(n∈N^*)，证明{b_n}是等比数列；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅲ)若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N^*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：由题设，得 　　， 　　即． 　　又，，所以是首项为1，公比为的等比数列． 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)， 　　， 　　， 　　…… 　　． 　　将以上各式相加，得．所以当时， 　　 　　上式对显然成立． 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，当时，显然不是与的等差中项，故． 　　由可得，由得 　　，　　① 　　整理得，解得或(舍去)．于是 　　． 　　另一方面， 　　， 　　． 　　由①可得 　　． 　　所以对任意的，是与的等差中项． 　　本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．