Question

2．求满足[$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}$]=2的正整数n．

Answer 1

分析 由[x]=2，知2≤x＜3，结合已知可得$2≤\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}＜3$，即$4≤n+\sqrt{n+\sqrt{n}}＜9$，然后对n取值验证得答案．

解答 解：由[x]=2，知2≤x＜3，
即$2≤\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}＜3$，
∴$4≤n+\sqrt{n+\sqrt{n}}＜9$，
当n=2时，$2+\sqrt{2+\sqrt{2}}＜2+\sqrt{2+2}=4$，故n=2不满足题意；
当n=3时，$3+\sqrt{3+\sqrt{3}}＞3+\sqrt{3}＞4$，且$3+\sqrt{3+\sqrt{3}}＜3+\sqrt{3+3}=3+\sqrt{6}＜6$，故n=3满足题意；
当n=4时，$4+\sqrt{4+\sqrt{4}}=4+\sqrt{6}＜4+\sqrt{9}=7$，故n=4满足题意；
当n=5时，$5+\sqrt{5+\sqrt{5}}＜5+\sqrt{8}＜5+\sqrt{9}=9$，故n=5满足题意；
当n=6时，$6+\sqrt{6+\sqrt{6}}＜6+\sqrt{6+3}=9$，故n=6满足题意；
当n=7时，$7+\sqrt{7+\sqrt{7}}＞7+\sqrt{7+2}=10$，故n=7不满足题意．
∴满足[$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}$]=2的正整数n的值为3，4，5，6共四个．

点评 本题考查根式与分数指数幂的互化，考查了学生的逻辑思维能力和推理论证能力，是中档题．