Question

【题目】如图，在梯形中，，，，四边形是矩形，且平面平面.

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）当二面角的平面角的余弦值为,求这个六面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由，，，可得，，由面面垂直的性质可得结果；（2）以为轴, 轴, 轴建立平面直角坐标系,设,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式，列方程可求得，由棱锥的体积公式可得结果.

（Ⅰ）在梯形中,∵,,

∴,

∴,∵.

∴,

∴,∴.

∵平面平面,平面平面,∴平面.

（Ⅱ）在中,,∴.

分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,,

,,则,,易知平面的一个法向量为,设

∵平面的法向量为,∴即令,则,,

∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,

∴,解得,即.

所以六面体的体积为：

.