Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函数g（x）的单调减区间为（-

1

3

，1），求函数g（x）的解析式；
（2）如果函数g（x）在区间(-

1

3

，

1

2

)上是减函数，求实数a的取值范围．
（3）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．
（2）若函数g（x）在区间(-

1

3

，

1

2

)上是减函数，则g′（x）＜0在区间(-

1

3

，

1

2

)上恒成立，利用二次函数的图象和性质可求出实数a的取值范围．
（3）已知条件可以转化为a≥lnx-

3

2

x-

1

2X

恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数g（x）的单调减区间为（-

1

3

，1），
∴g′（x）=3x²+2ax-1由题意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

1

3

，1）
即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

1

3

，1．
将x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（2）∵函数g（x）在区间(-

1

3

，

1

2

)上是减函数，
∴g′（x）=3x²+2ax-1＜0在区间(-

1

3

，

1

2

)上恒成立
即g′（-

1

3

）=3（-

1

3

）²+2a（-

1

3

）-1≤0，且g′（

1

2

）=3（

1

2

）²+2a（

1

2

）-1≤0，
解得-1≤a≤

1

4

（3）g′（x）=3x²+2ax-1，由题意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2X

恒成立　①（9分）
设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2X

，则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0得：x=1，x=-

1

3

（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．这类题目是高考的常考题．