Question

已知，{a_n}是首项为a公差为1的等差数列，bn=

1+an

an

．如对任意的n∈N^*，都有b_n≥b₈，成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据题意求出数列{a_n}的通项公式，然后求出b_n的表达式，再根据不等式的性质解不等式即可求出a的取值范围．

解答：解：{a_n}是首项为a公差为1的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a+n-1，
∵bn=

1+an

an

=1+

1

an

=1+

1

a+n-1

．
∵b_n≥b₈
∴1+

1

an

≥1+

1

a8

，即

1

an

≥

1

a8

，
数列{a_n}是递增数列，且公差为1，
∴a₈=a+8-1＜0，a₉=a+9-1＞0，此时

1

a8

＜0（n≥8）当0＜n＜8时也有a_n＜a₈，也有即

1

an

≥

1

a8

，
解得-8＜a＜-7，
故答案为（-8，-7）．

点评：本题考查了等差数列的基本性质和不等式的解法，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．