Question

（1）设tanα=-

1

2

，求

1

sin2α-sinαcosα-2cos2α

的值；
（2）已知cos（75°+α）=

1

3

，且-180°＜α＜-90°，求cos（15°-α）的值．

Answer 1

分析：（1）将分子的1化成sin²α+cos²α，然后将分子、分母都除以cos²α，得到关于tanα的分式，代入题中数据即可得到所求式子的值．
（2）根据α的取值范围，利用同角三角函数的关系算出sin（75°+α）=-

2 2

3

，再由互为余角的两角的诱导公式加以计算，可得cos（15°-α）的值．

解答：解：（1）∵1=sin²α+cos²α，tanα=-

1

2

．
∴原式=

sin2α+cos2α

sin2α-sinαcosα-2cos2α

=

sin2α cos2α + cos 2α cos2α

sin2α cos2α - sin αcosα cos2α - 2cos 2α cos2α

=

tan2α+1

tan2α-tanα-2

=

1 4 +1

1 4 + 1 2 -2

=-1；
（2）∵由-180°＜α＜-90°，得-105°＜α+75°＜-15°，
∴sin（75°+α）=-

1-cos2(75°+α)

=-

2 2

3

，
∵cos（15°-α）=cos[90°-（75°+α）]=sin（75°+α）
∴cos（15°-α）=-

2 2

3

．

点评：本题求两个三角函数式的值，着重考查了同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数与诱导公式等知识，属于基础题．