Question

（2013•茂名二模）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．设四边形OAQP的面积为S，
（1）求tan(α-

π

4

)；
（2）求

OQ

•

OA

+S的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用任意角的三角函数求出tanα，利用两角和与差的正切函数直接求tan(α-

π

4

)即可；
（2）通过图形展开求出求

OQ

•

OA

+S的表达式，通过角的范围直接求出表达式的最大值及此时θ的值．

解答：解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∴tanα=-

4

3

，
∴tan（α-

π

4

）=

tanα-tan π 4

1+tanαtan π 4

=

- 4 3 -1

1- 4 3

=7．
（2）由已知得：A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，S=sinθ，

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sinθ=

2

sin(θ+

π

4

)+1，0＜θ＜π，
∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
当θ+

π

4

=

π

2

时，

OA

•

OQ

+S取最大值，最大值为：1+

2

．

点评：本题考查向量在几何中的应用，三角函数的定义，两角差的正切函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．