Question

18．已知函数f（x）=ax²-bx+2满足f（1）=1，且对x∈R都有f（x）≥x恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（t）=4t-$\frac{10}{t}$+k（k∈R），对任意t∈[1，2]，存在x∈[-1，2]，使得g（t）＜f（x），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=1，得方程组，推出b=a+1，由对任意实数x，恒有f（x）≥x成立，得不等式a＞0，（b+1）²-8a≤0，由完全平方数非负，求得a，b的值，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）函数g（t）=4t-$\frac{10}{t}$+k在[1，2]上单调递增，最大值为3+k，f（x）=2x²-3x+2在[-1，2]上的最大值为7，可得不等式，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：a-b+2=1，则b=a+1，
又对任意实数x，都有f（x）≥x，即ax²-（b+1）x+2≥0，
则必须a＞0，（b+1）²-8a≤0，
即a＞0，a²+4a+4-8a≤0，即（a-2）²≤0，
即有a-2=0，解得a=2，b=3，
∴f（x）=2x²-3x+2；
（Ⅱ）函数g（t）=4t-$\frac{10}{t}$+k在[1，2]上单调递增，最大值为3+k，f（x）=2x²-3x+2在[-1，2]上的最大值为7，
∵对任意t∈[1，2]，存在x∈[-1，2]，使得g（t）＜f（x），
∴3+k＜7，
∴k＜4．

点评 本题考查二次函数的性质、不等式的性质及恒成立，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．