Question

若一个正四面体的表面积为S₁，其内切球的表面积为S₂，则

S1

S2

=______．

Answer 1

设正四面体ABCD的棱长为a，可得
∵等边三角形ABC的高等于

3

2

a，底面中心将高分为2：1的两段
∴底面中心到顶点的距离为

2

3

×

3

2

a=

3

3

a
可得正四面体ABCD的高为h=

a2- 1 3 a2

=

6

3

a
∴正四面体ABCD的体积V=

1

3

×S_△ABC×

6

3

a=

2

12

a²，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4×

1

3

×S_△ABC×r=

2

12

a²，解得r=

6

12

a
∴内切球表面积S₂=4πr²=

πa2

6

∵正四面体ABCD的表面积为S₁=4×S_△ABC=

3

a²，
∴

S1

S2

=

3 a2

πa2 6

=

6 3

π

故答案为：

6 3

π