Question

设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的，现投掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是偶数，棋子移动到另一个顶点；若投出的点数是奇数，则棋子不动．若棋子的初始位置在顶点A．
求：（Ⅰ）投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率；
（Ⅱ）记投了n次骰子，棋子在顶点B的概率为P_n．求P_n．

Answer 1

分析：（I）本题研究事件“投了2次骰子，棋子才到达顶点B”的概率，此事件包含两种情况“第一次不动，第二次移到点B”、“第一次移到C或D，第二次移到B”分别计算出它们的概率，再求和既得；
（II）先根据题意判断出P_n与P_n-1的递推关系，通过构造新数列求出棋子在顶点B的概率为P_n．

解答：解：（I）根据题意得到棋子不动的概率为

1

2

，棋子移动的概率为

3

6

×

1

3

=

1

6

投了2次骰子，棋子才到达顶点B有三种方式：A→A→B，A→D→B，A→C→B
故概率为P=

1

2

×

1

6

+

1

6

×

1

6

+

1

6

×

1

6

=

5

36

（II）根据题意知
Pn=

1

2

pn-1+

1

6

(1-pn-1)=

1

3

pn-1+

1

6

且p1=

1

6

所以pn-

1

4

=

1

3

(pn-1-

1

4

)
所以pn-

1

4

=(p1-

1

4

)×(

1

3

)n-1
所以pn=

1

4

-

1

12

(

1

3

)n-1

点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式，事件的分类，解题的关键是理解所研究的事件包含了哪些事件，且能根据概率乘法公式正确进行计算求概率，本题的难点是理解事件，对事件所包含的情况进行分类，重点是从事件中抽象出概率乘法模型，利用公式进行计算．本题考查了分类讨论思想，转化的思想及从具体事件中抽象出概率模型的能力，这也是高考考查的主要方式