Question

20．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动
（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？
（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理求|EF|的长度即可．
（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．利用正弦定理建立条件关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）经过1小时后，甲船到达E点，乙船到达F点，
|AE|=10-2=8，|AF|=2，∠EAF=60°，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
∴|EF|²=|AE|²+|AF|²-2|AE||AF|cos60°=64+4-2×$8×2×\frac{1}{2}$=52，
∴|EF|=2$\sqrt{13}$．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．
则甲船与A距离为|AE|=10-2t海里，乙船与A距离为|AF|=2t海里，∠EAF=60°，∠EFA=45°，┅┅┅6分
则由正弦定理得$\frac{|AE|}{sin45°}$=$\frac{|AF|}{sin75°}$，
即$\frac{2t}{sin45°}=\frac{10-2t}{sin75°}$，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
则t=$\frac{10sin45°}{2sin75°+2sin45°}$=$\frac{10}{3+\sqrt{3}}$＜5．┅┅┅┅┅┅┅┅11分
答：经过$\frac{10}{3+\sqrt{3}}$小时小船甲处于小船乙的正东方向．┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．