Question

数列{a_n}的首项为，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：是等比数列；           
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）记S_n为{a_n}的前n项和，对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由韦达定理，得，且（n≥2，且n∈N₊）． 代入3α-αβ+3β=1，整理构造出数列再证是等比数列；  
（2）在（1）的基础上，先求数列的通项公式，再得出{a_n}的通项公式
（3）由（2）可求得S_n=a₁+a₂+…+a_n=，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，只需λ≤
解答：解：（1）由α、β是方程a_n-1x²-a_nx+1=0的两根，得，
且（n≥2，且n∈N₊）．又由3α-αβ+3β=1得3（α+β）-αβ=1，
∴，整理得3a_n-1=a_n-1（n≥2）．
∴（n≥2，且n∈N₊）．
∴是等比数列，且公比．    
（2）∵，∴，则，
即．    …（7分）
（3）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=
==，
∴．又显然数列{}是递增数列，
∴要使对一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，
只需λ≤=，
∴λ的取值范围是．
点评：本题主要考查了利用递推关系 及构造等比数列求数列的通项公式，分组数列的求和，不等式的恒成立问题的转化求最值，体现了转化思想的应用．