Question

已知a∈R，函数f（x）=xln（-x）+（a-1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=-e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-e²，-e^-1]上的最大值g（a）．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=ln（-x）+a，（2分）
由题意知x=-e时，f'（x）=0，即：f'（-e）=1+a=0，
∴a=-1（3分）
∴f（x）=xln（-x）-2x，f'（x）=ln（-x）-1
令f'（x）=ln（-x）-1=0，可得x=-e
令f'（x）=ln（-x）-1＞0，可得x＜-e
令f'（x）=ln（-x）-1＜0，可得-e＜x＜0
∴f（x）在（-∞，-e）上是增函数，在（-e，0）上是减函数，（6分）
（Ⅱ）f'（x）=ln（-x）+a，
∵x∈[-e²，-e^-1]，
∴-x∈[e^-1，e²]，
∴ln（-x）∈[-1，2]，（7分）
①若a≥1，则f'（x）=ln（-x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[-e²，-e^-1]上是增函数，
f_max（x）=f（-e^-1）=（2-a）e^-1（9分）
②若a≤-2，则f'（x）=ln（-x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[-e²，-e^-1]上是减函数，
f_max（x）=f（-e²）=-（a+1）e²（11分）
③若-2＜a＜1，则令f'（x）=ln（-x）+a=0可得x=-e^-a
∵f'（x）=ln（-x）+a是减函数，
∴当x＜-e^-a时f'（x）＞0，当x＞-e^-a时f'（x）＜0
∴f（x）在（-∞，-e）[-e²，-e^-1]上左增右减，
∴f_max（x）=f（-e^-a）=e^-a，（13分）
综上：g(a)=

(2-a)e-1a≥1 -(a+1)e2a≤-2 e-a，-2＜a＜1

（14分）