Question

【题目】启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设．

（1）若观景长廊AD＝4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；

（2）当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；

（3）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）平方百米；（2）平方百米；（3）当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值， 最大值为32平方百米.

【解析】

（1）分别在和中运用余弦定理，求出，进而可得和，根据即可得结果；（2）在中，可得，令，，在中，运用余弦定理可得，由基本不等式可得，由即可得结果；（3）先求出，计算出，进而可得结果.

解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴ABC+ADC=

在中，

在中，

解得，∴

∴

（平方百米）

答：四边形ABCD内的湖面面积是平方百米.

（2）∵=60，∴在中，=112

令，， 在中，=112

∴=112

∵

∴（当且仅当x=y时，取等号）

∵

∴（平方百米）

答：三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米．

（3）∵点P和点D关于直线AC对称，

∴APC=ADC，PC=CD=8

由（1）知ABC+ADC=，∴ABC+APC=

∵ABC=，∴APC=

∵点P在区域内

∴，∴

∵在中，

在中，

∴

解得或（舍去）

∵，∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值，

答：当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米