Question

（2012•长春一模）已知函数f（x）=

ex，x≥0 -2x，x＜0

，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是

①②

（把所有满足要求的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：由解析式判断出f（x）＞0，再求出f[f（x）]的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数以及对应的k的范围，便可以判断出命题的真假．

解答：解：由题意知，当x≥0时，f（x）=e^x≥1；当x＜0时，f（x）=-2x＞0，
∴任意x∈R，有f（x）＞0，则f[f(x)]=

eex，x≥0 e-2x，x＜0

，画出此函数的图象如下图：

∵f[f（x）]+k=0，∴f[f（x）]=-k，
由图得，当-e＜k＜-1时，方程恰有1个实根；
当k＜-e时，方程恰有2个实根，
故①②正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查了命题的真假判断，以及方程根的根数问题，涉及到了分段函数求值，指数函数的图象及性质应用，考查了学生作图能力和转化思想．