Question

【题目】在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

做 中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.

解：如图做 中点，的中点，连接 ，由题意知

，则

设的外接圆圆心为，则在直线上且

设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为

在 中，由余弦定理可知，.

在平面中，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点垂直于 轴的直

线为 轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且

设 ，则，因为，所以

解得.则

所以球的表面积为.

故答案为: .