Question

（本题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在，使得. 试用这个结论证明：若函数（其中），则对任意，都有；
（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有.

Answer 1

（1）
（2）构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后借助于函数的导数判定单调性，然后证明最小值大于零即可。而第三问中，在上一问的基础上，运用结论放缩得到证明。

试题分析：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且
所以，得，此时.
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值，故       …………………………4分
（Ⅱ）令，
则.
因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在
使得                      …………………………7分
又，
当时，，从而单调递增，；
当时，，从而单调递减，；
故对任意，都有         . …………………………9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，      …………………………12分
由（Ⅱ）知对任意，都有，从而
．
…………………………14分
点评：解决该试题的关键是根据导数的符号，确定函数单调性，进而分析得到最值，证明不等式的成立。属于中档题 。