Question

    {a_n},{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的自然数n，都有a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列.

    (1)试问{b_n}是否是等差数列？为什么？

    (2)求证：对任意的自然数p,q(p＞q),b_p－q²+b_p+q²≥2b_p²成立；

    (3)如果a₁=1,b₁=,，求.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：依题意2bn2=an+an+1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ①     an+12=bn2·bn+12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ②     (1)∵an＞0，bn＞0，∴由②式得an+1=bn·bn+1，从而n≥2时，an=bn－1·bn,代入①2bn2=　　   bn－1bn+bnbn+1,     ∴2bn=bn－1+bn+1(n≥2),     ∴{bn}是等差数列.     (2)因为{bn}是等差数列，∴bp－q+bp+q=2bp.     ∴.     (3)由a1=1,b1=及①②两式易得a2=3, ，     ∴{bn}中公差，     ∴bn=b1+(n－1)d     =, ∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    ③     又a1=1也适合③,∴(n∈N),     ∴,     ∴1－     =,     ∴.